Yazar: Öğr. Gör. Dr. Hasan Keleş, Karadeniz Teknik Üniversitesi
Matris kavramı çok eskilere dayanır. M.Ö. ikinci yüzyılda tarımsal toplumlarda kullanıldığına dair tabletlere rastlanmıştır. O dönemlerde Çinliler ve Babilliler teoriye yakın birçok kullanım alanları oluşturmuşlardır. Matrisler ilk olarak M.Ö. 300 ile M.S. 200 yılları arasında, Han Hanedanlığı döneminde Chiu Chang Suan Shu tarafından yazılan ve determinantlar ile denklem sistemlerini bir matrisle çözme fikrini içeren Matematik Sanatının Dokuz Bölümü adlı Çince bir metinde kullanılmıştır.
Babilliler de matrisler üzerinde çalışmıştır, ancak Çinlilerin bu konudaki çalışmaları oldukça fazlalır. Çin matris yöntemlerinden biri bugün yaygın olarak Gauss Eliminasyonu olarak bilinmektedir. Buradaki kullanımda da Babillerin kullanıma benzerlikler mevcuttur. Ancak ilk kez 1850 yılında James Joseph Sylvester tarafından matris olarak adlandırılmıştır. Teori olarak matrisler Gottfried Leibniz adında bir matematikçi tarafından sunulmuştur. İlk olarak doğrusal denklemlerin katsayılarını birmatris ile ifade etmiştir.
Daha sonra Carl Gauss 1700’lerin sonunda matris teorisini daha da geliştirmiştir. Matris çarpımını, tersleri ve Gauss Eliminasyonunu yöntemini ifade etti. Gauss Eliminasyonu, 3 veya daha fazla değişkenli denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bir yöntemdir ve çoklu yapıyı daha sade, tekrarsız bir yapıya dönüştürür. Bu, “temel satır ya da sütun işlemleri” yapılarak gerçekleştirilir. Bu yöntem aslında Çince metinde de vardı, ancak Gauss bunu sistematik teorik yapıda sunmuştur. Daha sonra Sylvester, 1850’de dikdörtgen tabloya Latince rahim anlamına gelen matris adını verdi. Ayrıca teoriyi bir determinant bulma işlemi ile reel sayılar ile anlamlandırmıştır.
Son olarak, Sylvester’ın iyi bir arkadaşı olan Arthur Cayley, matris çarpma toplama, çıkarma ve bölme işlemlerini güçlendirmek gibi birçok matris katkısıyla ortaya çıktı [1, 2]. Ayrıca ters teoriye eklemeler yaptı ve ona kesin bir tanım verdi ve bir matrisin bir tamsayı ile çarpılması olan matrislerin skaler çarpımını keşfetti. Günümüze kadar kullanılan toplama, çıkarma, çarpma, bir reel sayı ile çarpma ve determinant işlemleri ile bir çok teknolojik yapının gelişimi sağlanmıştır. Bu işlemler ile regüler matrislerin tersleri hesaplanmış, büyük yapıdaki denklemler çözülmüş ve yapıların öz değerleri ve öz vektörleri bulunmuştur.
Bazı matematikçiler, ters bulma işlemi ile çarpma işlemini kullanarak matris bölmesi (sol-sağ) işlemini açıklamışlardır. Bu tanımlamada, matrislerin sadeleştirilmesi ya da reel sayılardaki rasyonel sayıların genişletilmesine dair imkan sunulmamıştır. Bu kullanım daha çok uygulamacılar tarafından rağbet görmüştür. Bu yöntemler ile yeni birçok matris denklemleri çözülmüştür.
2010 yılında yaptığım çalışmada determinant kullanılarak matrislerdeki bölme işlemini bölümsel bir işlemle ifade edilmiştir. Daha sonra 2012 yılında bu tanımlanın Gauss yöntemi ile de uyumlu olduğu görülmüştür. Yine regüler matrislerde çok fazla uygulanan Gramer kuralı diye bilinen yöntem matris formundaki çözümü verilmiştir [5]. Örneğin, bazıları; AX=B, XA=B, AXB=C, XAX=A,… [9]. Bölme işleminin tanımlanması ile matris teorisine bir çok katkı sunulmuştur [7, 8]. Matrisler eş bölen kavramı eş çarpana benzer olarak verilmiştir.
Reel sayıların çarpanları ile ilgili bildiklerimize benzer, matrislerin çarpanları üzerine çalışmalar yapılmıştır. Matrislerin çarpanlarının sonsuz tane olduğu gerçeğine ulaşılmıştr. Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi yapılabilmiştir. Matrislerin rasyonel yapılarına ek olarak, bilinenen bazı tanımlar daha geniş bir şekilde ifade edilmiştir.
Örnek olarak involütif matrisler n. mertebeden bir tanımla sunulması verilebilir. Cayley’in tanımladığı en küçük cebirsel yapı olan monoid kavramı matris örneği ile poloid yapıya genişletilmiştir. Buradaki monoid yapısına ek olarak escort eleman eklenmiştir. Her regüler bir matris biri ortak ikisi farklı matrislerin çarpımı şeklinde yazılabilmektedir. Poloid yapısı ile denklik ve benzerlik teorisine yeni bakış açısı sunulmuştur.
Denklem sistemlerinin çözümündeki bilinen yöntemlerden daha hızlı yöntemleri bölme ile yapmak mümkün hale gelmiştir. Özellikle dijital araçlardaki algılamanın hızı buna örnektir. Bu işlem, sensör ve digital yapıdaki uygulamalara yeni alanlar açmıştır.
Kaynakça
[1] Athloen, S. and McLaughlin, R., Gauss-Jordan reduction: A brief history, American
Mathematical Monthly 94 (1987) 130-142.
[2] Tucker, A., The growing importance of linear algebra in undergraduate mathematics, The College Mathematics Journal 24, 3-9, 1993.
[3] Keleş, H., The Rational Matrices, New Trends in Nanotechnology and Nonlinear Dynamical
Systems, paper 58, Ankara, 2010.
[4] Keleş, H., (2022). Poloids and Matrices, The Aligarh Bulletin of Mathematics, 41, 1, 41-52.
[5] Keleş, H., Different Approaches on the Matrix Division and Generalization of Cramer’s
Rule, Journal of Scientific and Engineering Research, 4, 3, 105-108, 2017.
[6] Keleş, H., On Some Results Row Co-Division in Regular Square Matrices, Current Debates on Natural and Engineering Sciences 3, Bilgin Culture and Art Publications, Certificate No: 20193, 65-69, Ankara 2022.
[7] Keleş, H., The division of the narayana matrix sequence, 2. Bilsel International Sur
Scientific Researches Congress, 721-729, Diyarbakır, Türkiye, 2024.
[8] Keleş, H., Division and Intersection of G-Classes of Matrices, Bursa 4th International
Conference on Mathematics and Engineering on January 24-26, Bursa, 2025.
[9] Keleş, H., (2025). On New Developments in Division of Matrices for Linear Matrix